один из типов аберраций оптических систем (См. Аберрации оптических систем); проявляется в несовпадении Фокусов для лучей света, проходящих через осе-симметрическую оптическую систему (линзу (См. Линза), Объектив) на разных расстояниях от оптической оси (См. Оптическая ось) этой системы (рис.). Фокус параксиального пучка лучей (См. Параксиальный пучок лучей), который проходит через центральную зону системы h₀h₁, располагается в гауссовой плоскости Oh; фокусы пучков лучей, проходящих через другие кольцевые зоны (h₁h₂, h₂h₃ и т. д.), находятся ближе гауссовой плоскости для собирающих (положительных) систем и дальше для рассеивающих (отрицательных) систем. Вследствие С. а. изображение, даваемое параллельным пучком лучей, будет на экране, перпендикулярном оси в точке О, иметь вид не точки, а кружка с ярким ядром и ослабевающим по яркости ореолом. При перемещении экрана вдоль оптической оси размеры этого кружка рассеяния и распределение в нём освещённости (См. Освещённость) меняются. Для некоторого положения экрана кружок рассеяния имеет минимальные размеры (примерно в 4 раза меньше, чем в гауссовой плоскости). Различают продольную и поперечную С. а. Первая измеряется длиной отрезка Оδs' отсчитанной от гауссовой плоскости до фокуса лучей, прошедших через крайнюю зону оптической системы (h₄h₅ на рис.); поперечная С. а. - радиусом кружка рассеяния Oδz' в гауссовой плоскости, определяемым лучами, идущими от крайней зоны h₄h₅ Так как для собирающих линз Oδs' < 0, а для рассеивающих Oδs' > 0, то специальным подбором линз в оптической системе можно почти полностью устранить С. а. У одиночных линз со сферическими поверхностями С. а. можно уменьшить, выбирая оптимальное соотношение радиусов кривизны этих поверхностей. При преломления показателе (См. Преломления показатель) материала линзы n = 1,5 С. а. минимальна, если отношение радиусов равно ⅙. Уменьшить С. а. можно, используя оптические элементы с асферическими поверхностями (например, параболическими).

Лит.: Тудоровскиq А. Н., Теория оптических приборов, ч. 1, М.- Л., 1948; Русинов М. М., Техническая оптика, М.-Л., 1961; Волосов Д. С., Фотографическая оптика, М., 1971.

Л. Н. Капорский.

Сферическая аберрация положительной (собирающей) линзы.

погрешности изображений, даваемых оптическими системами. Проявляются в том, что оптические изображения в ряде случаев не вполне отчётливы, не точно соответствуют объекту или оказываются окрашенными. Наиболее значительны следующие виды аберраций. Сферическая аберрация - недостаток оптического изображения, заключающийся в том, что световые лучи, прошедшие вблизи оптической оси, и лучи, прошедшие через отдалённые от оси части оптической системы (например, линзы), не собираются в одну точку. Сферическая аберрация может быть практически почти полностью устранена применением специально рассчитанных комбинаций линз. Кома - недостаток оптического изображения (изображение точки имеет вид продолговатого несимметричного пятнышка), возникающий при косом прохождении световых лучей через оптическую систему. В случае простой линзы размеры пятнышка пропорциональны квадрату радиуса линзы и углу наклона светового пучка по отношению к оси. При больших углах наклона пучка к оси существенна аберрация, называемая Астигматизмом. Если при прохождении оптической системы сферическая световая волна деформируется и перестаёт быть сферической, то пучок лучей становится сложным: лучи пересекаются не в одной точке, а в двух взаимно перпендикулярных отрезках прямой линии, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Такой пучок называется астигматическим, а само явление - астигматизмом (см. также Анастигмат). Аберрация оптической системы, называемая дисторсией (См. Дисторсия), выделяется неодинаковостью линейного увеличения в пределах всего поля изображения и приводит к нарушению геометрического подобия между объектом и его изображением. Оптические системы могут обладать сразу несколькими видами аберраций.

Исправление аберраций в сложных оптических системах производится надлежащим сочетанием линз и представляет трудную задачу. Устранение тех или иных видов аберраций обычно производится в соответствии с назначением оптической системы. Перечисленные А. о. с. называют геометрическими. Несовершенства изображения в оптических системах связаны также с волновой природой света. Они возникают из-за дифракции света (См. Дифракция света) на диафрагмах, оправах линз и т. п. Влияние дифракции обычно невелико по сравнению с другими А. о. с. Существует ещё Хроматическая аберрация, связанная с зависимостью показателя преломления от длины волны света, в результате чего при немонохроматическом свете (см. Монохроматический свет) изображения оказываются окрашенными.

Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 4 изд., М., 1957 (Общий курс физики, т. 3); Фриш С. Э., Тиморева А. В., Курс общей физики, 7 изд., т. 3, М., 1962.

специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

,

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении (См. Лапласа уравнение) в сферических координатах r, θ, φ. Общий вид решения:

,

где a_m - постоянные, - присоединённые функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством:

,

где Р_п - Лежандра многочлены.

С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e ^imφ} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты φ, разлагаются по зональным С. ф.:

С. ф. степени l

при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

(1)

(q^-1M - точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q^-1). Коэффициенты являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

,

где cos γ = cos θ cos θ' + sinθ sinθ' cos (φ -φ'), γ - сферическое расстояние точки (θ, φ) от точки (θ', φ').

Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть - поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. , сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, θ, φ), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию (См. Шаровые функции) соответственно степени n - 1 и n.

С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в конце 18 в.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1-2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.